Suma de Vectores

SUMA DE VECTORES

Para sumar vectores se emplean diferentes métodos: el método del paralelogramo, el método del triángulo, el método del polígono y el método de las componentes rectangulares.

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Figura 1

En este método se desplazan los vectores para unir sus "colas". Luego se completa el paralelogramo y el vector resultante será la diagonal trazada desde las "colas" de los vectores a sumar. Este vector tendrá también la "cola" unida a las colas de los otros dos y su "cabeza" estará al final de la diagonal. En la figura 1se ilustra este método.

Ejemplo:

Los vectores a y b de la figura 2 tienen magnitudes iguales a 6.0 y 7.0 unidades (u). Si forman un ángulo de 30º, calcular la magnitud y dirección del vector resultante (vector suma) s.

Solución:

Para calcular la resultante s podemos aplicar la ley de cosenos. Para ello tengamos en cuenta que los ángulos

son suplementarios:

Para calcular la dirección del vector resultante, basta con hallar el valor del ángulo

Para lograr esto podemos utilizar la ley de senos:

MÉTODO DEL TRIANGULO

En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas". En la figura 1 se ilustra el método.

Figura 1

En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul.

La operación se deberá hacer correctamente así sólo bastara medir con una regla el tamaño del vector de color negro utilizando la misma escala que utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo y el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un transportador el ángulo que forma con una línea horizontal.

Además de hacerlo gráficamente es importante aprenderlo a realizar analíticamente. Para ello se deben utilizar los teoremas del seno y del coseno y si es un triángulo rectángulo se utilizará el teorema de Pitágoras.

En el caso de la figura 1 las relaciones posibles entre los lados de ese triángulo son las siguientes:

Ejemplo:

Supongamos que en dicha figura los vectores sean la magnitud fuerza. Asumamos además que el ángulo entre los vectores sumandos (el rojo y el azul) es igual a 60.0º y que sus módulos son respectivamente 100 dinas (rojo) y 90.0 dinas (azul). Deseamos calcular el vector resultante.

Para ello empleemos la relación:

Su dirección sería:

MÉTODO DEL POLÍGONO

Este método es simplemente la extensión del método del triángulo. Es decir, se van desplazando los vectores para colocarlos la "cabeza" del uno con la "cola" del otro (un "trencito") y la resultante final es el vector que cierra el polígono desde la "cola" que quedo libre hasta la "cabeza" que quedo también libre (cerrar con un "choque de cabezas"). Nuevamente el orden en que se realice la suma no interesa, pues aunque el polígno resultante tiene forma diferente en cada caso, la resultante final conserva su magnitud, su dirección y su sentido.

Este método sólo es eficiente desde punto de vista gráfico, y no como un método analítico.

En la figura 1se ilustra la suma de cuatro vectores.

MÉTODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES

Cuando vamos a sumar vectores , podemos optar por descomponerlos en sus compnentes rectangulares y luego realizar la suma vectorial de estas. El vector resultante se logrará componiéndolo a partir de las resultantes en las direccioones x e y.
A continuación ilustramos este método mediante un ejemplo.

Ejemplo:

Sumar los vectores de la figura 1 mediante el método de las componentes rectangulares.

Figura 1.

Lo primero que debemos hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de esta forma
orientarnos mejor.

Esto se ilustra en la figura 2

Figura 2.

Calculemos las componentes rectangulares:

A continuación realizamos las sumas de las componentes en X y de las componentes en Y:

Representemos estos dos vectores en el plano cartesiano y de una vez compongamoslos (sumemoslos vectorialmente).

Ver figura 3:

Figura 3

Calculemos ahora el módulo de la resultante y su dirección:

SUMA GRÁFICA DE VECTORES

La suma de vectores A y B gráficamente, se puede visualizar como dos recorridos consecutivos, donde el vector suma corresponde al vector distancia que va desde el punto inicial al punto final. A la izquierda tenemos una representación de vectores por medio de flechas dibujadas a escala. El comienzo del vector B, se coloca sobre el extremo final del vector A. El vector suma R se dibuja como el vector que va desde el punto inicial del vector A al punto final del vector B.

El proceso anterior se puede realizar matemáticamente encontrando las componentes de A y B, combinándolos para formar las componentes de R, y luego convirtiéndolos a la forma polar.

Ejemplo de Componentes de Vector

Para encontrar las componentes de un vector en la suma de vectores tenemos que construir triángulos rectángulos en cada vector y luego hacer uso de la trigonometría del triángulo estándar.

El vector suma se obtiene combinando estas componentes y luego convirtiéndolo a la forma

Ejemplo de Forma Polar

Después de encontrar las componentes de los vectores A y B, y combinándolos luego, para obtener las componentes del vector resultante R, se puede poner en forma polar por medio de: