Producto Vectorial
El producto
vectorial y el producto
escalar son las dos
formas de multiplicar vectores que se realizan en la mayoría de las
aplicaciones de Física y Astronomía. La magnitud del producto vectorial de dos
vectores es el resultado de multiplicar las magnitudes de cada vector y por el
seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 grados) entre ellos. La
magnitud del producto vectorial se representa de la forma:
Y la
dirección es dada por la regla de
la mano derecha. Si los
vectores se expresan por medio de sus vectores unitarios i, j, y k en las
direcciones x, y, y z, entonces el producto vectorial, se expresa de esta forma
bastante engorrosa:
Que
corresponde al desarrollo de la forma más compacta de un determinante del producto vectorial.
Determinante del Producto Vectorial
El producto vectorial se representa de forma compacta por medio de un determinante que para el caso de dimensión 3x3 tiene un desarrollo matemático conveniente:
A partir de
esta forma familiar, podemos desarrollarlo para obtener su forma expandida:
Aplicaciones del Producto Vectorial
Geométricamente, el producto vectorial es útil como método de construcción de un vector perpendicular al
plano, si se tiene dos vectores en ese plano.
Físicamente,
aparece en el cálculo de par de fuerza y en el cálculo de la fuerza magnética de una carga en movimiento.
PRODUCTO PUNTO
El producto punto
o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar
el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Expresión analítica del producto punto
Ejemplo
Hallar el producto
punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3)
y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4,
−4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5
Expresión analítica del módulo de un vector
Hallar el valor
del módulo de un vector de coordenadas 
= (−3, 2, 5) en
una base ortonormal.
= (−3, 2, 5) en
una base ortonormal.
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Determinar el
ángulo que forman los vectores = (1, 2, −3) y 
= (−2, 4, 1).
= (1, 2, −3) y = (−2, 4, 1).
Propiedades del producto punto
1. Conmutativa
2. Asociativa
3. Distributiva
4. El producto escalar de un
vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
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